W poprzednim wpisie opisywałem zlewanie nalewki brzoskwiniowej i dosypywanie do niej cukru. Po dokonaniu prostych obliczeń czułem spory niedosyt, bo tak naprawdę nie wyjaśniło się, ile dodatkowego nalewu pozwala uzyskać dodanie cukru.

Niestety napisanie tego posta zajęło mi znacznie więcej czasu niż chciałem, bo zbieranie danych zakończyłem już 27 listopada. Ale lepiej późno niż wcale.

Obiekty badań - śliwka i brzoskwinia

Na szczęście, gdy przyszła mi chęć na poważniejsze zgłębienie tematu, cały czas w zanadrzu miałem ostatni słój brzoskwiniówki, z którego wyniki mam szansę porównać z tymi wcześniejszymi. Do tego nadszedł czas, by zlać również śliwki - owoce bardziej zwarte i wytwarzające znacznie mniej osadu. Uzyskanie szczegółowych informacji dotyczących przebiegu zlewania nalewu i syropu cukrowego dałoby wgląd w ogólny przebieg tego procesu i wyciągnięcie wniosków, które być może dałoby się rozszerzyć na wszystkie owoce.

Przygotowanie do eksperymentu

Zacząłem od zważenia pustych słoików, a następnie zaplanowałem jakie parametry chcę śledzić. Najbardziej interesujące moim zdaniem jest określenie zależności ilości wypływającego nalewu z owoców od czasu, a następnie ilości uzyskiwanego syropu cukrowego od czasu. Pozwoli to stwierdzić, na ile cukier „wyciąga” dodatkowe soki. Warto będzie połączyć to z badaniem czy uzyskiwany płyn składa się w większej części ze spirytusu czy cukru.

Przebieg eksperymentu - Śliwkówka

Postanowiłem najpierw zlewać nalew ze słoja w takiej ilości, jaka sama wypłynie z owoców. Zlany przez sitko nalew trafi do drugiego, pustego słoja. Następnie zasypię owoce cukrem i w analogiczny sposób określę ilość uzyskanego syropu. Ocenię także ilość osadu odrzuconą w procesie filtrowania.

Zlewanie nalewu z owoców

W chwili $t_0$ zlałem do drugiego słoja cały nalew, jaki wytworzył się z roztworu spirytusu i soków pochodzących z wnętrza przeciętych śliwek. Było tego 2165 gramów, co oznacza, że już w tym momencie przekroczona została masa dwóch litrów spirytusu 70% $m_\text{s70}$ ($\rho_\text{s70} = 0,88 \frac{\text{g}}{\text{cm^3}}$) = 1760 g i śliwki oddały z siebie o 405 gramów więcej niż wchłonęły. Nie mogę z całą pewnością stwierdzić, że oznacza to dokładnie 405 gramów soku w roztworze, bo równie dobrze może być go więcej, ale za cenę wniknięcia części spirytusu do owoców. Jestem niestety bardzo słabym chemikiem, ale sugestia, że stężenie spirytusu na zewnątrz i wewnątrz owoców będzie dążyło do równowagi, brzmi prawdopodobnie.

W tym momencie, po zlaniu nalewu nieznajdującego się w owocach, rozpoczęła się główna część eksperymentu: nalew powoli wypływał z owoców i spływał na dno słoja, a ja w kilkugodzinnych odstępach przelewałem go przez sitko do oddzielnego słoja, mierząc jednocześnie przyrost jego masy od ostatniego pomiaru. Pozwala to wyznaczyć przepływ ($S_\text{nalew}$), czyli przyrost masy nalewu od czasu.

$$S_\text{nalew} = \frac{\Delta m_\text{nalew}}{\Delta t}$$

Wzór 1. Przepływ nalewki

Zgodnie z oczekiwaniami przyrost, na początku największy, po kilku godzinach zmniejszył się i dość stabilnie malał, co przedstawia poniższa tabela.

$$t [\text{h}]$$	$$m_\text{nalew} [\text{g}]$$	$$\Delta m_\text{nalew} [\text{g}]$$	$$S_\text{nalew} [\frac{\text{g}}{\text{h}}]$$
0,0	2165
3,3	2317	152	45,60
15,3	2460	143	11,92
21,7	2527	67	10,58
27,5	2581	54	9,26
37,7	2639	58	5,70
43,2	2668	29	5,27
48,0	2700	32	6,62
52,3	2721	21	4,85
61,5	2754	33	3,60
71,5	2782	28	2,80
75,8	2807	25	5,77
85,7	2838	31	3,15
90,7	2850	12	2,40

Tabela 1. Ilość i przepływ nalewu wypływającego z owoców od czasu

Po niespełna 4 dobach od rozpoczęcia eksperymentu przyrosty stały się na tyle małe, że uznałem kontynuację eksperymentu za bezcelową.

Wykres 1 przedstawia zmianę ilości nalewu od czasu, a wykres 2. stopniowy spadek przepływu wraz z upływem czasu. Chciałbym nazwać go pochodną masy nalewki po czasie, ale nie brzmiałoby to poważnie przy tak rzadkim próbkowaniu. Trzeba zaznaczyć tutaj, że zdecydowanie nie jest to funkcja monotoniczna, na co prawdopodobnie wpłynęły niedokładności pomiarowe. Przy okazji wykonywania obliczeń zbadałem także hipotezę, że położenie słoika na boku (tak, aby nalew miał mniej do przepłynięcia przed opuszczeniem słoja) pozwoli uzyskać większą ilość w jednostce czasu. Okazało się jednak, że różnica jest niezauważalna. Na wykresie 2. funkcja aproksymująca wyliczana jest z pominięciem pierwszego pomiaru, ponieważ już na pierwszy rzut oka dynamika wylewania się nalewu była wtedy zupełnie inna.

Wykres 1. Masa zlanego nalewu od czasu

Wykres 2. Zmiana przepływu nalewu od czasu

Funkcja aproksymująca przyrost nalewu

Wzór funkcji aproksymującej (pomarańczowa krzywa na wykresie 2.), której współczynniki wyznaczone zostały przez bibliotekę Pandas, to:

$$ f(x) = e^{ax + b}, a = -0.0188, b = 2.6573 $$

Wzór 2. Funkcja aproksymująca przepływ nalewu śliwkowego

Oczywiście, z chwilą wyznaczenia funkcji aproksymującej narzuca się wręcz pytanie: ile maksymalnie nalewu mógłbym uzyskać, gdybym postanowił poczekać nieskończenie wiele czasu, aż przeleje się wszystko (i zakładając, że wszelkie straty są zaniedbywalne)?

W tym celu konieczne jest wyliczenie całki powyższej funkcji. Nie jest to zadanie skomplikowane, ale jako że ze studiów pamiętam tylko jedną całkę: tę z $e^x$, to postaram się zrobić to tak, aby ta wiedza była wystarczająca. Zastosuję w tym celu metodę podstawiania:

$$ \int f(x) dx = \int e^{ax + b} dx = \left|\begin{array}{cl} v = ax + b \\ dv = adx \\ dx = \frac{dv}{a}\end{array}\right| = \int e^v \frac{dv}{a} = \frac{e^v}{a} + C = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C $$

Wzór 3. Funkcja aproksymująca ilość nalewu od czasu

Mając wyznaczoną całkę nieoznaczoną, wyznaczenie wartości całki oznaczonej od chwili $t_1 = 3,3 [\text{h}]$ do nieskończoności jest zadaniem dość prostym. Jedyną trudnością jest fakt, że to całka niewłaściwa. Jak się to liczyło...? $ax + b$, jako że $a < 0$, dąży do $-\infty$, a $e$ z wykładnikiem dążacym do $-\infty$, więc cała granica dąży do zera.

$$ \int_{t_1}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{a} e^{ax+b} - \frac{1}{a} e^{a \cdot 3,3 + b} = 0 - \frac{1}{-0.0188} e^{2.59526} = - (-712.77) \approx 713 $$

Wzór 4. Wyznaczenie potencjalnego maksimum ilości nalewu

To naturalnie przedział dla $t \in [3,3; +\infty]$, dlatego też trzeba dodać ilość zmierzoną eksperymentalnie dla przedziału $t \in [0; 3,3]$. Po zsumowaniu, ostateczny wynik to: $713 + 152 = 865$ gramów. W ciągu czterech dni udało mi się zebrać 685 gramów, czyli, wedle tych obliczeń, 80% możliwej ilości. Przez pozostałą wieczność mógłbym zebrać dodatkowo 180 gramów. Każdy musi zdecydować samodzielnie czy warto.

Uzyskanie i zlewanie syropu

Do, wyglądających na suche, owoców (utraciły $\frac{1}{3}$ masy) wsypałem cukier, aby ten, wykorzystując swoje higroskopijne właściwości, wyciągnął z owoców resztę nalewu i zmienił się w syrop, który będzie mógł zostać połączony z nalewem.

Niektórzy owoce zalewają syropem - wodnym roztworem cukru - jednak nie widzę zalet takiego podejścia. Moim zdaniem im mniej doda się wody (najlepiej wcale), tym więcej będzie w stanie wyciągnąć z owoców cukier.

Aby obserwować prędkość uzyskiwania syropu, postanowiłem podzielić 1200 gramów cukru na trzy części: 600, 300 i 300 gramów, z których każdą rozpuszczałem oddzielnie. Kolejną partię dodawałem dopiero gdy zlałem do oddzielnego słoja cały syrop cukrowy z fazy poprzedniej. Ponieważ zlewanie nierozpuszczonego cukru mijało się moim zdaniem z celem, po wsypaniu cukru czekałem aż całkowicie się rozpuści. Stąd wzięły się bardzo długie przerwy między odczytami. Czas zlania po raz pierwszy syropu ze słoja oznaczyłem jako $t_0$. Następnie, podobnie jak w przypadku nalewu, zlewałem to, co w międzyczasie wypływało z owoców. Gdy przepływ $S_\text{syrop}$ zbliżył się do zera, wsypałem kolejną partię cukru i czekałem na jego całkowite rozpuszczenie. Wyniki tych działań przedstawia tabela 2.

$$t [\text{h}]$$	$$m_\text{syrop} [\text{g}]$$	$$\Delta m_\text{syrop} [\text{g}]$$	$$S_\text{syrop} [\frac{\text{g}}{\text{h}}]$$	Uwagi
0,0				dodanie 600 gramów cukru
46,0	1061		23,07
50,0	1103	42	10,50
52,1	1122	19	8,77
62,0	1137	15	1,53
72,0	1144	7	0,70
72,0	1144			Dodanie 300 gramów cukru
119,0	1590	446	9,49
119,0	1590			Dodanie 300 gramów cukru
210,0	1974	384	4,22
211,5	2020	46	30,67
216,0	2027	7	1,56

Tabela 2. Ilość i przyrost ilości syropu wypływającego z owoców od czasu

Cukier dodawany był w czasach $t_0 = 0$, $t_1 = 72 [\text{h}]$, $t_2 = 119 [\text{h}]$. Okazało się, że przepływ syropu malał bardzo szybko po jego pierwszym zlaniu. Nie byłem tym bardzo zaskoczony, bo cukier prawdopodobnie nie wnika w owoce, a jedynie wyciąga z nich wodę (i inne smakowitości) samemu pozostając na zewnątrz, dzięki czemu łatwo jest przelać całość do drugiego słoja. Warto zwrócić uwagę na ilość syropu uzyskaną z kolejnych partii cukru.

L.p.	$$m_\text{cukier} [\text{g}]$$	$$m_\text{syrop} [\text{g}]$$	$$\frac{m_\text{syrop}}{m_\text{cukier}}$$
1	600	1144	1,91
2	300	446	1,49
3	300	436	1,45

Tabela 3. Ilość syropu uzyskana z kolejnych partii cukru

Wykres 3. Poglądowa ilość syropu od czasu (oś X nie zachowuje skali)

Wyniki są dość zaskakujące. Okazuje się, że ostatnia partia cukru pozwoliła uzyskać (proporcjonalnie) niewiele mniej syropu niż poprzednia. Masa końcowa samych śliwek wyniosła $m_\text{śliwki} = 1016 [\text{g}]$, co sprawia, że straciły niemal $\frac{2}{3}$ z początkowej masy 3000 gramów. Z całkowicie pewnego źródła informacji, jakim jest Internet, dowiedziałem się, że świeże śliwki mają 87% wody, a suszone 24%. Ubytek masy sugeruje, że pozbyłem się podobnej ilości wody co w procesie suszenia. Ich wygląd także przywodził na myśl wersję suszoną/wędzoną. Dla porównania, obok umieszam zdjęcie śliwek, które odłożyłem jako rzekomo „suche” podczas przygotowywania śliwkówki rok wcześniej. Różnica jest uderzająca.

Śliwki. Na lewo: mocno wysuszone tegoroczne, na prawo: zeszłoroczne

Jeśli chodzi o smak śliwek, to pozostały w zasadzie same skórki i smakowały mniej więcej jak żelki, choć były niemal całkowicie wyprane ze smaku. To doskonała wiadomość, bo oznacza, że smak w całości trafił do butelek.

Przebieg eksperymentu - Brzoskwiniówka

Zacząłem analogicznie: od zlewania nalewu do drugiego słoja.

$$t [\text{h}]$$	$$m_\text{nalew} [\text{g}]$$	$$\Delta m_\text{nalew} [\text{g}]$$	$$S_\text{nalew} [\frac{\text{g}}{\text{h}}]$$
0,0	1714
3,0	1918	204	68,00
5,4	2026	108	44,69
15,5	2169	143	14,18
21,0	2245	76	13,82
25,8	2299	54	11,17
30,2	2351	52	12,00
39,3	2397	46	5,02
49,3	2442	45	4,50
53,7	2475	33	7,62
63,5	2510	35	3,56
68,5	2532	22	4,40
73,5	2554	22	4,40

Tabela 4. Ilość nalewu uzyskana z brzoskwiń

Wykresy 4 i 5 prezentują ilość nalewu i zmianę przepływu nalewu od czasu. Na wykresie 5. funkcja aproksymująca ignoruje pierwsze dwa wyniki, ponieważ różnią się znacznie od pozostałych.

Wykres 4. Ilość nalewu od czasu

Wykres 5. Zmiana przepływu nalewu od czasu

Funkcja aproksymująca przyrost nalewu

Tutaj nie będę się rozwodził i rozpisywał obliczeń. Jedyna różnica względem formuły dla śliwkówki jest odrzucenie dwóch, a nie jednego punktu. Funkcja aproksymująca przepływ (pomarańczowa krzywa na wykresie 5.) to:

$$ f(x) = e^{ax + b}, a = -0.0233, b = 2.9804 $$

Wzór 5. Funkcja aproksymująca przepływ nalewu brzoskwiniowego

Potencjalne maksimum uzyskanego nalewu dla przedziału $t \in [5,4; +\infty]$ to:

$$ \int_{t_2}^{+\infty} f(x) dx = 0 - \frac{1}{-0.0233} e^{-0.0233 \cdot 5.4 + 2.9804} = 0 - (-745,37) \approx 745 $$

Wzór 6. Możliwa do uzyskania ilość nalewu brzoskwiniowego

Po doliczeniu 312 gramów z przedziału $t \in [0; 5,4]$ daje to 1057 gramów nalewu, czyli potencjalnie można by uzyskać o 217 gramów więcej.

Zlewanie syropu

Drugi etap ponownie polegał na wsypaniu cukru, tym razem całych przewidzianych 400 gramów za jednym razem w chwili $t_0 = 0$.

$$t [\text{h}]$$	$$m_\text{syrop} [\text{g}]$$	$$\Delta m_\text{syrop} [\text{g}]$$	$$S_\text{syrop} [\frac{\text{g}}{\text{h}}]$$
46,0	450
50,0	519	69	17,25
52,2	552	33	15,23
62,0	593	41	4,17
72,0	614	21	2,10

Tabela 5. Ilość syropu uzyskana z 400 gramów cukru

Po niespełna dwóch dobach cukier rozpuścił się, dając syrop o nieznacznie większej masie. Widać tu inne zachowanie brzoskwiń w porównaniu ze śliwkami. Nie cały syrop uzyskałem za jednym razem, a kolejne godziny sprawiły, że wypłynęło go zauważalnie (o $\frac{1}{3}) więcej.

Zalanie i zlewanie wody

Tutaj doszło do kolejnej zmiany. Zamiast w tym momencie zakończyć i wlać przewidziane przez przepis 600 mililitrów wody do słoja z syropem, postanowiłem wlać ją do do słoja z owocami, aby zobaczyć, czy uda się wyciągnąć w ten sposób choć trochę smaku lub ewentualne resztki nierozpuszczonego cukru.

$$t [\text{h}]$$	$$m_\text{syrop+woda} [\text{g}]$$	$$\Delta m_\text{syrop+woda} [\text{g}]$$	$$S_\text{syrop+woda} [\frac{\text{g}}{\text{h}}]$$
0,0	819
1,0	881	62	62,00
4,0	971	90	30,00
14,0	1015	44	4,40
19,0	1044	29	5,80
43,0	1095	51	2,13
48,0	1121	26	5,20

Tabela 6. Ilość syropu uzyskana z resztki cukru zmieszanej z 600 gramami wody

Efekt widoczny jest w tabeli 6. i, choć nietypowy, to nie jest zaskakujący. 600 mililitrów wody zostało wchłonięte przez owoce i na początku tylko około $\frac{1}{3}$ wody mogła zostać odzyskana. W ciągu kolejnych kilkudziesięciu godzin udało się odzyskać w sumie 507 gramów płynu. Jednak najbardziej interesująca jest informacja: czy ma to jakikolwiek sens? Innymi słowy: czy pozwala uzyskać z owoców coś więcej? Niestety z braku odpowiedniej aparatury nie umiem udzielić obiektywnej odpowiedzi na to pytanie. Jedyną obserwacja, jaką mogłem dokonać, to ocena wyglądu i smaku. Płyn ma lekko brzoskwiniowy odcień. Nie da się wyczuć w nim ani cienia słodyczy, jednakże dość wyczuwalny jest alkohol. Oznacza to, że coś w tej wodzie jest, ale trudno stwierdzić, czy jest to ilość mająca jakiekolwiek znaczenie. W przyszłości prawdopodobnie odpuszczę sobie zalewanie wodą suchych owoców.

Płyn uzyskany na koniec zlewania wody z owoców

Filtracja

Ostatnim etapem przed butelkowaniem jest filtrowanie nalewki. Brzoskwinie zawierają ogromną ilość zanieczyszczeń, które pojawiają się zarówno w toku maceracji, jak i rozpuszczania cukru na syrop.

Proces filtrowania był następujący: nalew zlałem wężykiem znad osadu, a resztę przefiltrowałem za pomocą worka filtracyjnego. Następnie zmieszałem go z syropem. Miało to na celu zmniejszenie stężenia cukru, aby nie zaklejał on worka filtracyjnego, ale sprawiło to jednocześnie, że nie mogę stwierdzić ile zanieczyszczeń było w samym syropie, a ile dostało się z części nalewu zlanej znad osadu. Po odczekaniu na opadnięcie zanieczyszczeń na dno, ponownie zlałem całość znad osadu i przefiltrowałem pozostałość z dna.

W tym przypadku okazało się, że w 3536 gramach nieprzefiltrowanej nalewki znajduje się 405 gramów fusów, w tym z nalewu usunięte zostało ich 124 gramy. Efekt końcowy to 3131 gramów gotowej nalewki.

Po lewej: osad, po prawej: przefiltrowana nalewka

Wnioski

Niestety, jak na tak długie obliczenia, wniosków nie mam wiele. Po pierwsze warto poczekać i co najmniej przez kilka godzin zlewać nalew z owoców przed dodaniem cukru. W zależności od pokładów cierpliwości, można wyciągnąć z owoców bardzo dużo. Do tego potwierdziłem doświadczalnie, że cukier ma zdolności higroskopijne. Ciekawie byłoby, gdyby eksperyment wykazał coś zupełnie przeciwnego. Brak grupy kontrolnej nie pozwala mi wygłaszać jednoznacznego werdyktu, ale myślę, że teza, iż lepiej zacząć od zalewania owoców spirytusem, a później zasypywać cukrem, jest znacznie bardziej prawdopodobna niż warianty alternatywne.

Kod generujący wykresy

Kod generujący wykresy, wraz z instrukcją ich uruchomienia, znajduje się w repozytorium bloga na GitHubie.

Dziękuję bratu za ogólną pomoc i wyznaczenie parametrów funkcji aproksymujących oraz narysowanie wykresów.